會考衝刺倒數27天｜數學｜相似三角形：掌握比例的藝術，分數輕鬆入袋！ | 大帥老師

📅 考前倒數 27 天｜數學

哈囉，親愛的學弟妹們！我是你們的大帥老師！💪 距離會考越來越近了，大家有沒有覺得時間過得飛快呢？別擔心，大帥老師會一路陪著你們衝刺到最後一刻！今天我們要來攻略一個超級無敵重要的幾何考點——相似三角形！

為什麼說它重要呢？因為相似三角形是會考的「萬年常客」啊！💥 幾乎每年都會出現，而且常常是結合其他單元（例如：平行線截比例線段、面積計算、甚至坐標幾何）的大題關鍵！掌握了相似三角形，就等於掌握了幾何題型的半壁江山，很多看似複雜的題目，只要找到相似形，就能迎刃而解，輕鬆拿到分數！

廢話不多說，我們馬上進入「考前衝刺解題」環節！🚀

題目一：基本性質與比例應用

在三角形ABC中，D、E兩點分別在AB、AC邊上，且DE//BC。已知AD=3，DB=2，AE=x，EC=y，BC=10，DE=z。 (1) 求DE的長度z。 (2) 若三角形ADE的周長為12，求三角形ABC的周長。 (3) 若三角形ADE的面積為9，求四邊形DBCE的面積。

解題步驟與觀念說明：

(1) 求DE的長度z。

觀念解析： 當有平行線時（DE//BC），會產生「A型」相似三角形，即△ADE ~ △ABC (AAA相似)。對應邊會成比例。
步驟：
1. 因為DE//BC，所以∠ADE = ∠ABC (同位角相等)，∠AED = ∠ACB (同位角相等)。
2. 又∠DAE = ∠BAC (共同角)。
3. 因此，△ADE ~ △ABC (AAA相似)。
4. 根據相似三角形對應邊成比例：AD : AB = DE : BC
5. 我們知道AD=3，DB=2，所以AB = AD + DB = 3 + 2 = 5。
6. 代入比例式：3 : 5 = z : 10
7. 解比例：5z = 3 * 10 => 5z = 30 => z = 6。
答案： DE的長度為6。

(2) 若三角形ADE的周長為12，求三角形ABC的周長。

觀念解析： 相似三角形的周長比等於對應邊長比。
步驟：
1. 由(1)可知，△ADE ~ △ABC，且相似比 = AD : AB = 3 : 5。
2. 相似三角形的周長比等於相似比。
3. 所以，(△ADE的周長) : (△ABC的周長) = 3 : 5。
4. 已知△ADE的周長為12，設△ABC的周長為P。
5. 代入比例式：12 : P = 3 : 5
6. 解比例：3P = 12 * 5 => 3P = 60 => P = 20。
答案： 三角形ABC的周長為20。

(3) 若三角形ADE的面積為9，求四邊形DBCE的面積。

觀念解析： 相似三角形的面積比等於對應邊長比的平方。四邊形DBCE的面積 = △ABC的面積 - △ADE的面積。
步驟：
1. 由(1)可知，△ADE ~ △ABC，且相似比 = 3 : 5。
2. 相似三角形的面積比等於相似比的平方。
3. 所以，(△ADE的面積) : (△ABC的面積) = (3 : 5)² = 9 : 25。
4. 已知△ADE的面積為9，設△ABC的面積為A。
5. 代入比例式：9 : A = 9 : 25
6. 解比例：9A = 9 * 25 => A = 25。 (所以△ABC的面積是25)
7. 四邊形DBCE的面積 = △ABC的面積 - △ADE的面積 = 25 - 9 = 16。
答案： 四邊形DBCE的面積為16。

題目二：梯形中的相似形與面積應用

在梯形ABCD中，AD//BC。對角線AC與BD交於O點。已知AD=4，BC=10。若三角形ADO的面積為8，求三角形BCO的面積。

解題步驟與觀念說明：

觀念解析： 梯形中，平行線（AD//BC）與對角線會形成「沙漏型」相似三角形，即△ADO ~ △CBO (AAA相似)。面積比等於邊長比的平方。
步驟：
1. 因為AD//BC，所以：
  - ∠DAO = ∠BCO (內錯角相等)
  - ∠ADO = ∠CBO (內錯角相等)
  - ∠AOD = ∠COB (對頂角相等)
2. 因此，△ADO ~ △CBO (AAA相似)。
3. 根據相似三角形對應邊成比例，相似比 = AD : CB = 4 : 10 = 2 : 5。
4. 相似三角形的面積比等於相似比的平方。
5. 所以，(△ADO的面積) : (△CBO的面積) = (2 : 5)² = 4 : 25。
6. 已知△ADO的面積為8，設△BCO的面積為A'。
7. 代入比例式：8 : A' = 4 : 25
8. 解比例：4A' = 8 * 25 => 4A' = 200 => A' = 50。
答案： 三角形BCO的面積為50。

相似性質要牢記！ 📝
- AAA (角角角相似)：兩個三角形的兩組對應角相等，第三組角自然也相等。這是最常用、最直觀的判斷方式！
- SAS (邊角邊相似)：兩個三角形的一組對應角相等，且夾此角的兩組對應邊成比例。
- SSS (邊邊邊相似)：兩個三角形的三組對應邊都成比例。
- 直角三角形的母子相似：直角三角形斜邊上的高，會將原三角形分成兩個與原三角形相似的小直角三角形。遇到直角三角形和高，直接想到它！
比例關係是關鍵！ 📏
- 對應邊長比 = 周長比：如果兩個三角形相似比是k，那麼周長比也是k。
- 面積比 = 邊長比的平方：如果相似比是k，那麼面積比是k²。這個非常重要，常常是解面積題目的關鍵！
- 體積比 = 邊長比的立方 (雖然國中較少考，但觀念可延伸)。
常見圖形要辨識！ 🔍
- A型：一個小三角形包含在一個大三角形裡面，且底邊平行 (如題目一)。
- 沙漏型：兩條平行線被兩條相交直線截斷，形成兩個頂點相對的相似三角形 (如題目二的梯形對角線交點)。
- 平行線截比例線段：平行線截任意兩條直線，所截的線段會成比例。這可以幫助我們找到相似三角形的邊長比例。

學弟妹們，相似三角形真的是一個非常實用的工具！只要你多練習、多觀察，看到圖形就能馬上反應出相似關係，那麼會考的幾何題就再也難不倒你了！💪 相信自己，你一定可以！大帥老師為你加油！GO！GO！GO！🔥