會考衝刺倒數24天｜數學｜機率大解密！穩拿分數的必勝關鍵！ | 大帥老師

📅 考前倒數 24 天｜數學

Hi 各位學弟妹！我是你們的大帥老師！👋 距離會考只剩下短短24天了，大家是不是覺得時間過得飛快，又有點緊張呢？別擔心，大帥老師會一路陪著你們衝刺到最後！

今天我們要來攻略的考點是**「機率」**！這個主題在會考數學中，每年幾乎都會出現1到2題，有時候甚至會跟統計圖表、數據分析結合，變成生活化的應用題。雖然看似簡單，但如果觀念不夠紮實，或是對排列組合的判斷不夠精準，就很容易失分喔！它不只考驗你的數學計算能力，更考驗你分析問題、邏輯思考的能力，絕對是「CP值超高」的必得分題型！把機率搞懂，至少一題穩穩入袋，對提升總分絕對有幫助！💪

💡 核心觀念複習：

機率的定義： $P(\text{事件}) = \frac{\text{特定事件發生的次數}}{\text{所有可能發生的次數}}$ 其中，分母「所有可能發生的次數」和分子「特定事件發生的次數」都是最關鍵的，必須計算正確！

🎯 經典例題衝刺

例題一：抽籤與組合應用

一個箱子裡有5顆球，其中有3顆紅球和2顆藍球。如果小明從箱子裡「同時」取出2顆球，請問：

取出2顆球都是紅球的機率為何？
取出2顆球顏色不同（一紅一藍）的機率為何？

解題步驟與觀念說明：

首先，題目說「同時」取出2顆球，這代表取出的順序不重要，我們應該使用組合的觀念來計算。

步驟一：計算「所有可能發生的次數」（分母） 從總共5顆球中，同時取出2顆球，所有可能的取法是 $C(5, 2)$ 。 $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 所以，所有可能發生的次數是10種。

第一題：取出2顆球都是紅球的機率

步驟二：計算「特定事件發生的次數」（分子） 我們要取出2顆紅球。箱子裡有3顆紅球，從這3顆紅球中取出2顆紅球的取法是 $C(3, 2)$ 。 $C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 所以，取出2顆紅球的次數是3種。

步驟三：計算機率 $P(\text{都是紅球}) = \frac{\text{取出2顆紅球的次數}}{\text{所有可能發生的次數}} = \frac{3}{10}$

第二題：取出2顆球顏色不同（一紅一藍）的機率

步驟二：計算「特定事件發生的次數」（分子） 我們要取出1顆紅球和1顆藍球。

從3顆紅球中取出1顆紅球的取法是 $C(3, 1) = 3$ 種。
從2顆藍球中取出1顆藍球的取法是 $C(2, 1) = 2$ 種。因為這兩個動作是同時發生的，所以我們需要將它們的次數相乘。特定事件發生的次數 = $C(3, 1) \times C(2, 1) = 3 \times 2 = 6$ 種。

步驟三：計算機率 $P(\text{一紅一藍}) = \frac{\text{取出1紅1藍的次數}}{\text{所有可能發生的次數}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

大帥老師溫馨提醒： 這題也可以利用「扣除法」來算第二小題喔！所有可能的情況 - 都是紅球 - 都是藍球 = 一紅一藍

都是紅球的機率是 $\frac{3}{10}$ 。
都是藍球的機率：從2顆藍球中取2顆是 $C(2, 2) = 1$ 種。所以都是藍球的機率是 $\frac{1}{10}$ 。 $P(\text{一紅一藍}) = 1 - P(\text{都是紅球}) - P(\text{都是藍球}) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ 。是不是跟直接計算的結果一樣呢？遇到複雜的題目，有時候「扣除法」會更快、更不容易出錯喔！😉

例題二：期望值計算

某學校舉辦園遊會，其中一個攤位設計了一個摸彩遊戲。箱子裡有10張彩券，其中有2張可以獲得100元獎金，有3張可以獲得50元獎金，剩下的是銘謝惠顧。每張彩券售價30元。請問：

摸彩一次，獲得獎金的期望值是多少元？
摸彩一次，淨賺或淨賠的期望值是多少元？

解題步驟與觀念說明：

期望值是機率中一個很實用的概念，它代表了在大量重複試驗下，每次試驗結果的平均值。公式為 $E = \sum (x_i \cdot P(x_i))$ ，其中 $x_i$ 是每個結果的數值， $P(x_i)$ 是該結果發生的機率。

步驟一：釐清所有可能結果及對應的獎金與機率 總共有10張彩券。

獲得100元獎金： 有2張。機率 $P(100) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ 。
獲得50元獎金： 有3張。機率 $P(50) = \frac{3}{10}$ 。
銘謝惠顧（0元獎金）： 剩下 $10 - 2 - 3 = 5$ 張。機率 $P(0) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ 。

第一題：摸彩一次，獲得獎金的期望值

步驟二：計算期望值 期望值 $E = (100 \text{元} \times P(100)) + (50 \text{元} \times P(50)) + (0 \text{元} \times P(0))$ $E = (100 \times \frac{1}{5}) + (50 \times \frac{3}{10}) + (0 \times \frac{1}{2})$ $E = 20 + 15 + 0$ $E = 35$ 所以，摸彩一次，獲得獎金的期望值是35元。

第二題：摸彩一次，淨賺或淨賠的期望值

步驟一：釐清每個結果的「淨賺/淨賠」金額 每張彩券售價30元，所以我們必須把這個成本考慮進去。

獲得100元獎金： 實際淨賺 $100 - 30 = 70$ 元。
獲得50元獎金： 實際淨賺 $50 - 30 = 20$ 元。
銘謝惠顧： 實際淨賠 $0 - 30 = -30$ 元。

步驟二：計算淨賺/淨賠的期望值 期望值 $E_{淨賺} = (70 \text{元} \times P(100)) + (20 \text{元} \times P(50)) + (-30 \text{元} \times P(0))$ $E_{淨賺} = (70 \times \frac{1}{5}) + (20 \times \frac{3}{10}) + (-30 \times \frac{1}{2})$ $E_{淨賺} = 14 + 6 - 15$ $E_{淨賺} = 5$ 所以，摸彩一次，淨賺的期望值是5元。這表示如果攤位主人舉辦這個遊戲，平均每次摸彩他會賺5元；如果從消費者的角度來看，平均每次摸彩會淨賺5元（也就是划算的遊戲！）。

📚 必記重點整理

正確判斷「所有可能結果」和「特定事件」：這是機率計算的根基！分母和分子一定要算對。對於涉及「同時取球/抽籤」且順序不重要的題型，請務必使用組合 $C(n,k)$ 來計算。如果是「依序取出」且順序有影響，則要用排列 $P(n,k)$ ，或直接用樹狀圖來分析。
善用「扣除法」和「樹狀圖」：
- 當特定事件的計算太複雜時，可以考慮計算其「反面事件」的機率，再用1去減。例如：「至少一顆紅球」的反面就是「都不是紅球」。
- 對於多步驟或結果較少的機率問題，畫樹狀圖能幫助你視覺化所有可能性，避免遺漏。
理解「期望值」的意義與計算：
- 期望值代表的是「平均結果」，計算公式為 $E = \sum (x_i \cdot P(x_i))$ 。
- 務必搞清楚 $x_i$ 代表的數值（是「獎金」？還是「淨賺/淨賠」？），以及它對應的機率 $P(x_i)$ 。正負號也要特別注意！

機率這個單元，其實就是把生活中的「可能性」用數學算出來。只要你搞懂這些核心觀念，多練習幾題，相信在會考場上，面對機率題你一定能輕鬆得分！大帥老師相信你們一定可以！💪 加油！