會考衝刺倒數17天｜數學｜座標幾何不迷路！距離、中點、對稱一次搞懂 | 大帥老師

哈囉，各位衝刺會考的同學們！我是你們的大帥老師！

轉眼間，距離會考只剩下 17天 了！是不是感覺時間越來越緊迫，心情也越來越緊張呢？別擔心！越是這種時候，我們越要穩住陣腳，把每一個能掌握的考點都變成我們的得分囊中物！

今天，大帥老師要帶大家來複習一個國中數學非常基本，但卻超級重要的考點——「座標幾何」！座標幾何題目常常會以圖形判斷、距離計算或是點的位置變換等形式出現。只要觀念清楚，公式熟練，這絕對是送分題中的送分題！讓我們一起來輕鬆搞定它！

大帥老師的 3 個必記重點！座標幾何致勝關鍵

在正式挑戰題目之前，我們先把座標幾何中最核心的幾個概念複習一遍，這些都是你必須牢記在心的得分公式喔！

距離公式：畢氏定理的華麗變身！ 當你在平面上有兩點 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ 時，想要知道這兩點之間的直線距離是多少？這時候就是「距離公式」登場的時候啦！

$P_1P_2$ 的距離 $=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

【大帥老師提點】：這個公式是不是看起來有點熟悉？沒錯，它其實就是 畢氏定理 (勾股定理) 的應用！你可以想像 $P_1$ 和 $P_2$ 兩點構成一個斜邊，然後以它們的 $x$ 座標差和 $y$ 座標差為兩股，畫出一個直角三角形。這樣一想，是不是就更好理解和記憶了呢？記住， $x$ 座標相減再平方， $y$ 座標相減再平方，加起來開根號就對了！
中點公式：找出兩點中間的那個它！ 如果不是要找兩點的距離，而是想知道兩點 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ 之間的 中點 M 座標在哪裡？中點公式就能幫你快速找到！

中點 $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

【大帥老師提點】：中點的 $x$ 座標就是兩點 $x$ 座標的平均值，中點的 $y$ 座標就是兩點 $y$ 座標的平均值。是不是超級直觀好記？就像你要找兩個數字的中間值，就是把它們加起來除以二一樣簡單！
對稱點：鏡子裡的另一個我！ 在座標平面上，點的對稱是一個非常常見的考法。通常會考點對 $x$ 軸、 $y$ 軸或原點的對稱。
- 點 $P(a, b)$ 對稱於 $x$ 軸： $P'(a, -b)$ ( $x$ 座標不變， $y$ 座標變號)
- 點 $P(a, b)$ 對稱於 $y$ 軸： $P'(-a, b)$ ( $x$ 座標變號， $y$ 座標不變)
- 點 $P(a, b)$ 對稱於原點： $P'(-a, -b)$ ( $x$ 座標和 $y$ 座標都變號)
【大帥老師提點】：想像一下，對稱軸就像一面鏡子。當你對 $x$ 軸對稱時，點會上下翻轉，所以 $y$ 座標的正負號會改變；當你對 $y$ 軸對稱時，點會左右翻轉，所以 $x$ 座標的正負號會改變。而對稱於原點，則是 $x$ 軸和 $y$ 軸都翻轉了一次，所以兩個座標都要變號。搞懂這個原理，你就再也不會搞混啦！

經典例題：實戰演練，輕鬆得分！

概念都複習完了，現在讓我們來看看一道結合這些重點的經典會考題型，大帥老師帶你一步步解析！

題目： 已知平面上兩點 $A(-3, 5)$ 和 $B(5, -1)$ 。 (1) 請求出 A、B 兩點的距離。 (2) 請求出 A、B 兩點的中點 M 的座標。 (3) 若點 C 與 A 點對稱於 $y$ 軸，請求出 C 點的座標；若點 D 與 B 點對稱於原點，請求出 D 點的座標。

解題步驟：

第一步：分析題目，找出已知與所求

已知兩點 $A(-3, 5)$ 和 $B(5, -1)$ 。
所求：(1) A、B 距離 (2) A、B 中點 M (3) C 點 (A 對 $y$ 軸對稱) 和 D 點 (B 對原點對稱)。

第二步：運用公式，逐一擊破！

(1) 請求出 A、B 兩點的距離。 * 思路：直接套用距離公式。 * 解題：設 $A(x_1, y_1) = (-3, 5)$ ， $B(x_2, y_2) = (5, -1)$ 。 $A、B$ 兩點的距離 $=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $= \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-1 - 5)^2}$ $= \sqrt{(5 + 3)^2 + (-6)^2}$ $= \sqrt{(8)^2 + (-6)^2}$ $= \sqrt{64 + 36}$ $= \sqrt{100}$ $= 10$ * 答案：A、B 兩點的距離是 10。

(2) 請求出 A、B 兩點的中點 M 的座標。 * 思路：直接套用中點公式。 * 解題：設 $A(x_1, y_1) = (-3, 5)$ ， $B(x_2, y_2) = (5, -1)$ 。中點 $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ $= \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{5 + (-1)}{2} \right)$ $= \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right)$ $= (1, 2)$ * 答案：中點 M 的座標是 $(1, 2)$ 。

(3) 若點 C 與 A 點對稱於 $y$ 軸，請求出 C 點的座標；若點 D 與 B 點對稱於原點，請求出 D 點的座標。 * 思路：分別套用對稱點的規則。 * 解題： * 求 C 點： A 點為 $(-3, 5)$ 。點 C 與 A 點對稱於 $y$ 軸，根據對稱於 $y$ 軸的規則 ( $x$ 座標變號， $y$ 座標不變)， C 點的座標為 $(-(-3), 5) = (3, 5)$ 。 * 求 D 點： B 點為 $(5, -1)$ 。點 D 與 B 點對稱於原點，根據對稱於原點的規則 ( $x$ 座標和 $y$ 座標都變號)， D 點的座標為 $(-5, -(-1)) = (-5, 1)$ 。 * 答案：C 點的座標是 $(3, 5)$ ，D 點的座標是 $(-5, 1)$ 。

看到沒？只要你掌握了這些核心概念和公式，再複雜的座標幾何問題都能迎刃而解！會考的題目再怎麼變化，也脫離不了這些基本款。

大帥老師的考前叮嚀：

多畫圖：遇到座標幾何問題，如果可以，試著在腦海中畫出草圖，有時候圖形會給你意想不到的靈感！
細心計算：尤其是有正負號的計算，很容易粗心出錯，務必每一步都看仔細。
熟記公式：這些公式就像你的武器，越熟練，解題速度就越快，才能在會考有限的時間內發揮最大效益！

距離會考還有 17 天，這是黃金衝刺期！每天進步一點點，累積起來就是巨大的能量。相信自己，你絕對可以的！大帥老師會一直陪著你們，為你們加油打氣！

下次見囉！祝大家學習愉快，考試順利！大帥老師敬上！